Question

5．甲乙两人进行围棋比赛，每一局2人获胜的概率相等，谁先赢得规定的局数就获胜．
（Ⅰ）若甲还需n局，乙还需3局才能获胜（n＞3），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）若规定连胜两局者获胜，比赛完5局仍未出现连胜，则约定获胜局数多者获胜，记比赛总局数为X，求X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若进行n局比赛，则甲获胜的概率为$（\frac{1}{2}）^{n}$；若进行n+1局比赛，则最后一局比赛甲获胜，且前n局比赛中甲负一局；若进行n+2局比赛，则最后一局比赛甲获胜，且前n局比赛中甲负两局．由此能求出甲获胜的概率．
（Ⅱ）用A表示甲羸得比赛的事件，A_k表示第k局甲获胜，B_k表示第k局乙获胜，比赛总局数X的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与期望．

解答 解：（Ⅰ）若进行n局比赛，则甲获胜的概率为$（\frac{1}{2}）^{n}$，
若进行n+1局比赛，则最后一局比赛甲获胜，且前n局比赛中甲负一局，概率为${C}_{n}^{1}（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
若进行n+2局比赛，则最后一局比赛甲获胜，且前n局比赛中甲负两局，概率为${C}_{n}^{2}（\frac{1}{2}）^{n+2}$，
∴甲获胜的概率P=$（\frac{1}{2}）^{n}+{C}_{n}^{1}（\frac{1}{2}）^{n+1}+{C}_{n}^{2}（\frac{1}{2}）^{n+2}$．
（Ⅱ）用A表示甲羸得比赛的事件，A_k表示第k局甲获胜，B_k表示第k局乙获胜，
比赛总局数X的可能取值为2，3，4，5，
P（X=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=P（A₁B₂B₃）+P（B₁A₂A₃）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=4）=P（A₁B₂A₃A₄）+P（B₁A₂B₃B₄）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₂）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=$2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{8}$=$\frac{23}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法概率公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．