题目内容
20.给出下列命题:(1)命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;
(2)命题“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x∈R,x2-x≥0”;
(3)向量$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(1,1),且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角,则λ的取值范围是λ>-$\frac{5}{3}$;
(4)方程(x-y+2)$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-9}$=0表示的曲线是一个圆和两条射线.
其中真命题的个数是( )
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
分析 利用复合命题的真假以及充要条件判断(1)的正误;
命题的否定判断(2)正误;向量的数量积判断(3)的正误;曲线与方程判断(4)的正误.
解答 解:(1)命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;应该是充分不必要条件,所以(1)不正确;
(2)命题“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x∈R,x2-x≥0”;不满足命题的否定的形式,正确的否定是:“?x∈R,x2-x>0,所以(2)不正确;
(3)向量$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(1,1),且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角,可得$\frac{\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b})}{\left|\overrightarrow{a}\right||\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}|}>0$,
即:$\frac{5+3λ}{\sqrt{5}•\sqrt{{(1+λ)}^{2}+{(4+2λ)}^{2}}}$>0,则λ的取值范围是λ>-$\frac{5}{3}$;所以(3)正确;
(4)方程(x-y+2)$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-9}$=0表示的曲线是一个圆和两条射线.应该是两个点.所以(4)不正确;
故选:C.
点评 本题考查命题的真假的判断,充要条件以及命题的否定,向量的夹角,曲线与方程的关系,考查基本知识的应用.
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