Question

【题目】如图，在四棱锥 中，已知 ， ， 底面 ，且 ， ， 为 的中点， 在 上，且 .

（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】
（1）解: 证明：∵ 底面 ， 底面 ，故 ；

又 ， ，因此 平面 ，又 平面 ，因此平面 平面

（2）解: 证明：取 的中点 ，连接 ，

则 ，且 ，又 ，故 .又 ， ， ，又 .

∴ ， ，且 ，故四边形 为平行四边形，∴ ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 .

（3）解: 由 底面 ，∴ 的长就是三棱锥 的高， .又 ，

故

【解析】(1)根据已知条件的线面垂直的性质定理可得出P A ⊥ C D ，再结合线面垂直的判定定理可得到 C D ⊥ 平面 P A D 进而得到平面P A D ⊥ 平面 PDC.(2)由题意作出辅助线根据已知可得 M E / / C D ，再结合已知条件得出ME=进而可得出 C D / / A B借助边之间的长度关系可得 M E / / A N ，且 M E = A N，得出四边形 M E A N 为平行四边形，利用边的平行关系结合线面平行的判定定理得出 M N / / 平面 P A D 。(3)由题意利用转换三棱锥的顶点把三角形BDC做为底面由已知P A = 1，借助三棱锥的体积公式代入数值求出结果。