Question

【题目】若曲线f（x）= （e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（ ）
A.（e，e2）
B.（e， ）
C.（1，e2）
D.[1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设A（x1，y1），y1=f（x1）= ，B（x2，y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0），

则 =0，x2=﹣x1，∴ ．

， ，

由题意， ，即 =0，

∴ ，

∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，

∴ ，

则 ．

设h（x）= ，则h′（x）= ，

∵e﹣1＜x＜e2﹣1，

∴h′（x）＞0，

即函数h（x）= 在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，

则 ，

即e＜a＜ ．

∴实数a的取值范围是（e， ）．

故选：B．

【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．