Question

【题目】已知 .
（1）若函数 的图象在点 处的切线平行于直线 ，求 的值；
（2）讨论函数 在定义域上的单调性；
（3）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解:

由题意可知 ，故

（2）解:

当 时，因为 ， ，故 在 为增函数；

当 时，由 ；由 ，

所以增区间为 ，减区间为 ，

综上所述，当 时， 在 为增函数；当 时， 的减区间为 ，增区间为 ．

（3）解: 由（2）可知，当 时，函数 在 上单调递增，

故有 ，所以 不合题意，舍去．

当 时， 的减区间为 ，增区间为 ．

若 ，则函数 在 上单调递减，

则 不合题意，舍去．

若 时，函数 在 上单调递增，

，所以 不合题意，舍去．

若 时， ，

解得 ，

综上所述， ．

【解析】(1)求出原函数的导函数由已知函数 f ( x ) 的图象在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线即为 f ′ ( 1 ) = 1 + a = 1，求出a的值。(2)对（1）中的导函数进行分析，由a的不同取值范围得到导函数的正负进而得出原函数f(x) 的增减性并得到相应的增减区间。(3)利用（2）的结论，对a分情况讨论分别求出各种情况下的函数在区间上的最小值令其等于，求解出a的值。