Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，右焦点F₂与抛物线y²=4$\sqrt{34}$x的焦点相同，离心率为e=$\frac{\sqrt{34}}{5}$，若双曲线左支上有一点M到右焦点F₂距离为18，N为MF₂的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，可得双曲线的c，由离心率公式可得a，连接MF₁，利用ON是△MF₁F₂的中位线，|ON|=$\frac{1}{2}$|MF₁|，再由双曲线的定义求出|MF₁|，进而得到|ON|的值．

解答 解：右焦点F₂与抛物线
y²=4$\sqrt{34}$x的焦点（$\sqrt{34}$，0）
相同，
可得双曲线的c=$\sqrt{34}$，
离心率为$e=\frac{{\sqrt{34}}}{5}$，可得a=5，
由双曲线左支上有一点M
到右焦点F₂的距离为18，
N是MF₂的中点，
连接MF₁，
ON是△MF₁F₂的中位线，
可得ON∥MF₁，
|ON|=$\frac{1}{2}$|MF₁|，
由双曲线的定义知，|MF₂|-|MF₁|=2×5，
∴|MF₁|=18-10=8．
∴|ON|=4，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的焦点和双曲线的焦点，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于中档题．