Question

已知函数f(x)=

4x+m

2x

是奇函数．
（1）求m的值：
（2）设g（x）=2^x+1-a．若函数与g（x）的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数建立条件关系即可求出m的值．
（2）根据函数和方程之间的关系，结合指数函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）由函f（x）是奇函数可知：f（0）=1+m=0，
解得m=-1．
（2）函数f（x）与g（x）的图象至少有一个公共点
即方程

4x-1

2x

=2^x+1-a至少有一个实根，
即方程4^x-a•2^x+1=0至少有一个实根．
令t=2^x＞0，则方程t²-at+1=0至少有一个正根
方法一：由于a=t+

1

t

≥2
∴a的取值范围为[2，+∞）．
方法二：令h（t）=t²-at+1，
由于h（0）=1＞0，
∴只须

△≥0 a 2 ＞0

，即

△=a2-4≥0 a＞0

，
解得a≥2．
∴a的取值范围为[2，+∞）

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键．