Question

在△ABC中，若sinA，cos

B

2

，sinC成等比数列，则此三角形的形状是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：根据已知sinA，cos

B

2

，sinC成等比数列，可得∴cos2

B

2

=sinAsinC．利用三角函数的性质以及三角恒等变换将等式化简为cos（A-C）=1．由此可得A=C．从而可判断三角形为等腰三角形．

解答： 解：∵sinA，cos

B

2

，sinC成等比数列，
∴cos2

B

2

=sinAsinC．
∴

1

2

(1+cosB)=-

1

2

[cos(A+C)-cos(A-C)]．
即1+cosB=-cos（π-B）+cos（A-C）
∴1+cosB=cosB+cos（A-C）
∴cos（A-C）=1．
∵A，C为三角形的内角，
∴A-C=0．
∴A=C．
∴△ABC为等角三角形．
故答案为：等腰三角形．

点评：本题考查三角函数恒等变换，三角函数的诱导公式，等比数列的性质等知识．属于中档题．