Question

12．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；
（2）若b=1，c=$\frac{1}{3}$，求证：f（x）在区间（1，2）内存在唯一零点；
（3）若c=0，求f（x）在区间[0，1]上的最大值g（b）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于b，c的方程，求出b，c的值即可；
（2）根据函数零点的存在性定理，证明结论即可；
（3）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调性，从而求出g（b）的表达式即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-b，所以1-b=2，得b=-1，
又f （1）=2+1=3，所以 $\frac{1}{3}$-b+c=3 得 c=$\frac{5}{3}$，
故b=-1，c=$\frac{5}{3}$；
（2）f （x）=$\frac{1}{3}$ x³-x+$\frac{1}{3}$，
因为f （1）f （2）=-$\frac{1}{3}$×1＜0，
所以f （x）在区间（1，2）内存在零点，
又当x∈（1，2）时，f′（x）=x²-1＞0，
所以f （x）在（1，2）上递增，
故f （x）在区间（1，2）内存在唯一零点．
（3）f （x）=$\frac{1}{3}$ x³-bx，f′（x）=x²-b，
（i）．当b≤0时，在[0，1]上f’（x）≥0，f （x）在[0，1]上递增，
所以g（b）=f （1）=$\frac{1}{3}$-b
（ii）．当b＞0时，由f′（x）=0得 x=$\sqrt{b}$ 或x=-$\sqrt{b}$ （舍）

x	0	（0，$\sqrt{b}$）	$\sqrt{b}$	（$\sqrt{b}$，+∞）
f’（x）		-	0	+
f （x）	0	递减	极小	递增

由 f （x）=f （0）得x=0或x=$\sqrt{3b}$
①当 $\sqrt{3b}$≥1即b≥$\frac{1}{3}$ 时，g（b）=f （0）=0
②当 $\sqrt{3b}$＜1 即 0＜b＜$\frac{1}{3}$ 时，g（b）=f （1）=$\frac{1}{3}$-b
综上可知，$g（b）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}-b，b＜\frac{1}{3}\\ 0，b≥\frac{1}{3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．