Question

设定点A、B、C、D是以O为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ（B）=C 的旋转，用τ 表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设σ○τ 表示变换的复合，先作τ ，再作σ ．则ω可以表示为（　　）

• A、σ○τ○σ○τ○σ
• B、σ○τ○σ○τ○σ○τ
• C、τ○σ○τ○σ○τ
• D、σ○τ○σ○σ○τ○σ

Answer 1

考点：空间向量的正交分解及其坐标表示

专题：推理和证明

分析：由σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ（B）=C 的旋转，可得：σ（C）=D，σ（D）=B，σ（A）=A，由τ 表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，可得：τ（A）=B，τ（B）=A，τ（C）=C，τ（D）=D，结合ω表示空间以l 为轴的180°旋转，则ω变换后：ω（B）=A，逐一分析四个答案复合变换后的结果，比照后，可得结论．

解答： 解：在如图所示的正四面体ABCD中，

∵σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ（B）=C 的旋转，
∴σ（C）=D，σ（D）=B，σ（A）=A，
又∵τ 表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，
∴τ（A）=B，τ（B）=A，τ（C）=C，τ（D）=D
ω表示空间以l 为轴的180°旋转，则ω变换后：ω（B）=A，
A中，σ○τ○σ○τ○σ（B）=σ○τ○σ○τ（C）=σ○τ○σ（c）=σ○τ（D）=σ（D）=B，不满足要求；
B中，σ○τ○σ○τ○σ○τ（B）=σ○τ○σ○τ○σ（A）=σ○τ○σ○τ（A）=σ○τ○σ（B）=σ○τ（C）=σ（C）=D，不满足要求；
C中，τ○σ○τ○σ○τ（B）=τ○σ○τ○σ（A）=τ○σ○τ（A）=τ○σ（B）=τ（C）=C，不满足要求；
D中，σ○τ○σ○σ○τ○σ（B）=σ○τ○σ○σ○τ（C）=σ○τ○σ○σ（C）=σ○τ○σ（D）=σ○τ（B）=σ（A）=A，满足要求；
故选：D．

点评：本题考查的知识点是映射，空间变换，推理和证明，要求学生有较强的逻辑思维能力和空间想像能力，综合性强，理解几种变换的对应关系是解答的关键．