Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）若直线y=x+b（b＞0）与轨迹C相交于M、N两点，直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点，顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形，求b．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出P的坐标，则，和可表示出，根据整理求得P的轨迹方程．
（2）设出M，N的坐标，利用对称性可推断出P，Q的坐标，因为MNPQ是菱形，判断出MP⊥NQ，，即x₁x₂+y₁y₂=0，由直线与椭圆的方程联立消去y后，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用x₁x₂+y₁y₂=0，求得b．
解答：解：（1）设P（x，y），则，，，
因为，所以，
化简整理得点P的轨迹C的方程为．
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由C的对称性，得P（-x₁，-y₁）、Q（-x₂，-y₂），
因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由得7x²+8bx+（4b²-12）=0，，
，
检验知，此时，
所以．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，轨迹方程问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．