Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接运用求周期公式计算即可；
（2）将2x+

π

6

看做一个整体，根据正弦函数的性质可得由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，进而求出x的范围，得到答案．
（3）当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，故f（x）_max=2，f（x）_min=2sin[2×（-

π

6

）+

π

6

]=-1．

解答： 解：（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（3）当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
f（x）_max=2，f（x）_min=2sin[2×（-

π

6

）+

π

6

]=-1．
故f（x）∈[-1，2]．

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法及值域，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题，属于基础题．