Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）

（1）求数列{an}的通项公式an，

（2）若数列{bn}满足bn=（3n﹣1）an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）an=．（2）﹣1＜λ＜2．

【解析】

试题（1）由已知条件推导出，从而得到=（）3n﹣1=．由此能求出结果．

（2）由=，利用裂项求和法求出，从而得到{Tn}为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出λ的取值范围．

解：（1）∵数列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）

∴=，

∴，

∴=（）3n﹣1=．

∴an=．

（2）∵，bn=（3n﹣1）an，

∴=，

∴，①

，②

①﹣②，得

=﹣

=2﹣，

∴．，

∵Tn+1﹣Tn=（4﹣）﹣（4﹣）=，

∴{Tn}为单调递增数列，

∵不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，

∴①当n为正奇数时，﹣λ＜Tn对一切正奇数成立，

∴（Tn）min=T1=1，∴﹣λ＜1，∴λ＞﹣1；

②当n为正偶数时，λ＜Tn对一切正偶数成立，

∵（Tn）min=T2=2，∴λ＜2．

综上知﹣1＜λ＜2．