题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面是菱形，
底面
，
分别是
的中点，
，
，
.
（I）证明：
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（III）在
边上是否存在点
，使
与
所成角的余弦值为
，若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）
； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得
平面
，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线
的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点
存在，设
，由直线
与
的方向向量得到关于
的方程，解方程即可确定点F的位置.
(Ⅰ)由菱形的性质可得：
，结合三角形中位线的性质可知：
，故
，
底面
，
底面，故
，
且
，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知
，
，
，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则：
，
设平面的一个法向量为
,
则：
，
据此可得平面的一个法向量为
，
而
，
设直线与平面所成角为
，
则
.
(Ⅲ)由题意可得：
，假设满足题意的点存在，
设
，，
据此可得：
，即：
,
从而点F的坐标为
，
据此可得：
,
，
结合题意有：
，解得：
.
故点F为
中点时满足题意.
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