Question

计算下列定积分：
（1）

∫

1 -1

x

5-4x

dx  
（2）

∫

1 0

ex

e2x+1

dx  
（3）

∫

e 1

2+lnx

x

dx．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：将被积函数变形，利用换元的思想转化为我们熟悉的基本初等函数形式解答．

解答： 解；（1）设

5-4x

=t，则x=

5-t2

4

，并且t∈[1，3]，
所以

∫

1 -1

x

5-4x

dx=

∫

3 1

(

5

4t

-

t

4

)d(

5-t2

4

)=

1

8

∫

3 1

(t2-5)dt=

1

8

（

1

3

t3-5t）|

3 1

=-

1

6

；
（2）设e^x=t，则x=lnt，

∫

1 0

ex

e2x+1

dx=

∫

e 1

1

1+t2

dt=arctant|

e 1

=arctane-

π

4

；
（3）

∫

e 1

2+lnx

x

dx=

∫

e 1

(2+lnx)d(2+lnx)=

1

2

×（2+lnx）²|

e 1

=

5

2

．

点评：本题考查了定积分的计算，关键是将所求转化为熟知的基本初等函数的导数，进一步求定积分．