Question

若关于x的方程x+b=3-

4x-x2

有解，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：问题等价于y=

4x-x2

与y=-x+3-b的图象有公共点，可得y=

4x-x2

的图象为（2，0）为圆心2为比较的圆的上半部分，y=-x+3-b表示直线，数形结合可得答案．

解答： 解：关于x的方程x+b=3-

4x-x2

有解等价于

4x-x2

=-x+3-b有解，
等价于y=

4x-x2

与y=-x+3-b的图象有公共点，
∵y=

4x-x2

等价于

y2=4x-x2 y≥0

，等价于

(x-2)2+y2=4 y≥0

，
其图象为（2，0）为圆心2为比较的圆的上半部分，
作图可得当平行直线y=-x+3-b介于两直线之间时满足题意，
易得直线m的截距为0，设直线n的截距为t，
由直线与圆相切可得直线x+y-t=0到点（2，0）的距离为2，
可得

|2-t|

2

=2，解得t=2+2

2

，或t=2-2

2

（舍去），
∴0≤b-3≤2+2

2

，解得3≤b≤5+2

2

，
故答案为：3≤b≤5+2

2

点评：本题考查根的存在性，涉及圆的切线问题，转化为函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题．