Question

8．数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n+1，a₁=1．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}（{{a_n}+1}）}}$，n∈N*，求证：b₁•b₂+b₂•b₃+…+b_n•b_n+1＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等比数列的定义即可证明，并求出通项公式，
（Ⅱ）根据对数的运算性质可得${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}（{{a_n}+1}）}}=\frac{1}{n}$，再根据裂项求和和放缩法即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
即$\frac{{{a_n}_{+1}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，
所以，数列{a_n+1}是公比为2的等比数列．
${a_n}+1=（{{a_1}+1}）•{2^{n-1}}={2^n}$，
所以${a_n}={2^n}-1$．                          
（Ⅱ）因为${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}（{{a_n}+1}）}}=\frac{1}{n}$，
所以b₁•b₂+b₂•b₃+…+b_n•b_n+1=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{{n×（{n+1}）}}$=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$＜1

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．