Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有a_i+b_j=a_k+b_l，则

1

2014

2014

i=1

（a_i+b_i）的值是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有a_i+b_j=a_k+b_l，反复运用它，求出数列的前5项，归纳得到数列{a_n}，{b_n}的通项公式，然后求出数列{a_n+b_n}的通项公式，得到该数列为等差数列，求其前2014项和的平均数得答案．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，b₁=2，
又当i+j=k+l时都有a_i+b_j=a_k+b_l，
由此得到a₃=3，a₄=4，a₅=5，
b₂=3，b₃=4，b₄=5，b₅=6．
归纳得：a_n=n，b_n=n+1，
∴a_n+b_n=2n+1，
及数列{a_n+b_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列．
则

1

2014

2014

i=1

（a_i+b_i）=

1

2014

•

2014(3+4029)

2

=2016．
故答案为：2016．

点评：本题考查了等差数列的前n项和，解答此题的关键在于由已知归纳得到数列{a_n}，{b_n}的通项公式，是中档题．