Question

10．直线x+2y=m（m＞0）与⊙O：x²+y²=5交于A，B两点，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|＞2|{\overrightarrow{AB}}|$，则m的取值范围为（2$\sqrt{5}$，5）．

Answer 1

分析 根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|＞2|{\overrightarrow{AB}}|$，利用平行四边形法则推断出∠AOB范围，通过夹角为直角时求得原点到直线的距离，可得d范围，求得m的范围．

解答 解：∵直线x+2y+m=0与圆x²+y²=5交于相异两点A、B，
∴O点到直线x+2y+m=0的距离d＜$\sqrt{5}$，
又∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|＞2|$\overrightarrow{AB}$|，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，
可知，OC＞2．
圆的圆心到直线的距离d＞2，
可得：$\sqrt{5}$＞$\frac{m}{\sqrt{5}}$＞2，m＞0，解得m∈（2$\sqrt{5}$，5）．
故答案为：（2$\sqrt{5}$，5）．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．