Question

20．某市政协课题组成员为了解中学生的身体素质情况，决定在该市高二的14400名男生和9600名女生中按分层抽样的方法抽取30名学生，对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：A类（课余不参加体育锻炼），B类（课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3小时），C类（课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时），调查结果如表：

	A类	B类	C类
男生	5	x	5
女生	y	5	3

（1）求出表中x、y的值；
（2）根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“课余不参加体育锻炼“与性别有关；

	男生	女生	总计
课余不参加体育锻炼
课余参加体育锻炼
总计

（3）从抽出的女生中再抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的均值（即数学期望）．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （I）根据分层抽样原理计算男女生人数，得出各类人数；
（II）列联表计算k²，根据附表数值作出结论；
（III）根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出均值．

解答 解：（I）设抽取的30人中，男女生人数分别为n₁，n₂，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}=\frac{14400}{9600}}\\{{n}_{1}+{n}_{2}=30}\end{array}\right.$，
∴n₁=18，n₂=12．
∴x=18-5-5=8，y=12-5-3=4．
（II）列联表如下：

	男生	女生	总计
课余不参加体育锻炼	5	4	9
课余参加体育锻炼	13	8	21
总计	18	12	30

k²=$\frac{30×（5×8-13×4）^{2}}{18×12×9×21}$≈0.11＜2.706，
∴没有90%的把握认为“课余不参加体育锻炼“与性别有关．
（3）X的可能取值0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}{+C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{7}{22}$．
则P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}{+C}_{4}^{1}{C}_{5}^{2}{+C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{5}{11}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{9}{44}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{+C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{44}$，
∴E（X）=0×$\frac{7}{22}$+1×$\frac{5}{11}$+2×$\frac{9}{44}$+3×$\frac{1}{44}$=$\frac{41}{44}$．

点评 本题考查了分层抽样原理，独立性检验思想，离散型变量的均值，属于中档题．