Question

10．已知函数$f（x）=\frac{x}{e^x}$，若不等式f（x）-a（x+1）＞0的解集中有且仅有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}}]$
• B． $[{\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}}）$
• C． $[{\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}}]$
• D． $[{\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}}）$

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，作出f（x）与y=a（x+1）的图象，根据图象和整数解的个数判断a的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴当x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：

∵由f（x）-a（x+1）＞0仅有一个整数解得f（x）＞a（x+1）只有一整数解，
设g（x）=a（x+1），
由图象可知：当a≤0时，f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，不符合题意，
当a＞0时，若f（x）＞g（x）只有1个整数解，则此整数解必为1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞g（1）}\\{f（2）≤g（2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}＞2a}\\{\frac{2}{{e}^{2}}≤3a}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{2e}$．
故选D．

点评 本题考查了不等式与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．