Question

12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，且直线l经过曲线C的左焦点F．
（ I ）求直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=4，利用互化公式可得直角坐标方程，可得作焦点F$（-\sqrt{2}，0）$．直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：x-y=m，把F代入可得：m．
（II）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为$（2cosθ，\sqrt{2}sinθ）$$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．可得椭圆C的内接矩形的周长为L=8cosθ+4$\sqrt{2}$sinθ=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ）（其中tanφ=$\sqrt{2}$）．即可得出椭圆C的内接矩形的周长的最大值．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=4，
可得直角坐标方程：x²+2y²=4，化为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
∴c=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，可得作焦点F$（-\sqrt{2}，0）$．
直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：x-y=m，
把$（-\sqrt{2}，0）$代入可得：m=-$\sqrt{2}$．
∴直线l的普通方程为：x-y+$\sqrt{2}$=0．
（II）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为$（2cosθ，\sqrt{2}sinθ）$$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．
∴椭圆C的内接矩形的周长为L=8cosθ+4$\sqrt{2}$sinθ=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ）≤4$\sqrt{6}$（其中tanφ=$\sqrt{2}$）．
∴椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．