Question

11．设由直线xsinα-ycosα-6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合为T，若l₁，l₂，l₃∈T，且l₁，l₂，l₃为一个等腰直角三角形三边所在直线，且坐标原点在该直角三角形内部，则该等腰直角三角形的面积为36+24$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 原点到此直线的距离d=$\frac{|0-6|}{\sqrt{si{n}^{2}α+（-cosα）^{2}}}$=6．因此直线xsinα-ycosα-6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合T为圆：x²+y²=36的所有切线组成的直线系．不妨取：x=6，y=-6，y=x+6$\sqrt{2}$．求出其交点即可得出．

解答 解：原点到此直线的距离d=$\frac{|0-6|}{\sqrt{si{n}^{2}α+（-cosα）^{2}}}$=6．
因此直线xsinα-ycosα-6=0（参数α∈R）为元素所构成的集合T为圆：x²+y²=36的所有切线组成的直线系．
不妨取：x=6，y=-6，y=x+6$\sqrt{2}$．
可得等腰直角三角形的顶点分别为：（6，6$\sqrt{2}$），．（-6-6$\sqrt{2}$，-6），（6，-6），
∴该等腰直角三角形的面积S=$\frac{1}{2}×（6\sqrt{2}+6）^{2}$=36+24$\sqrt{2}$．
故答案为：36+24$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线系方程的应用、直线与圆的方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．