Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC-

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若|

AB

+

AC

|=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用已知条件应用正弦定理，结合三角形的内角和化简，得到A的余弦函数值，即可求角A的大小；
（Ⅱ）方程|

AB

+

AC

|=2平方，然后利用基本不等式，求解bc的最值，即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）acosC-

1

2

c=b⇒sinAcosC-

1

2

sinC=sinB，⇒sinAcosC-

1

2

sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC⇒cosA=-

1

2

⇒A=

2π

3

．
（Ⅱ）将|

AB

+

AC

|=2两边平方可得：c²+b²+2bccosA=4，即b²+c²-bc=4，
由均值不等式，b²+c²=bc+4≥2bc，则bc≤4，
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，当且仅当b=c时，
△ABC面积的面积取到最大值

3

．

点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．