Question

【题目】在直角坐标系中，，动点满足（且）.

（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（2）若，点为动点的轨迹曲线上的任意一点，过点作圆：的切线，切点为.试探究平面内是否存在定点，使为定值，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在点或

【解析】

试题分析：（1）设，（且），化简可得动点的轨迹方程.（2）由（1）当时，动点的轨迹方程为：，设，

,假设在平面内存在点使得（其中为正常数）

化简，整理可得对于任意满足的恒成立进而求出，即可求出结果.

试题解析：（1）设，（且）

化简得动点的轨迹方程为：

表示以为圆心，为半径的圆.

（2）由（1）当时，动点的轨迹方程为：，设

假设在平面内存在点使得（其中为正常数）

化简得：

又

对于任意满足的恒成立

解得或

∴存在点或满足题意