Question

【题目】已知三次函数，下列命题正确的是 .

①函数关于原点中心对称；

②以，两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与交于两点，则这四个点的横坐标满足关系；

③以为切点，作切线与图像交于点，再以点为切点作直线与图像交于点，再以点作切点作直线与图像交于点，则点横坐标为；

④若，函数图像上存在四点，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】试题分析：①函数满足是奇函数，所以关于原点（0,0）成中心对称，正确；②因为，根据切线平行，得到,所以,根据①可知，,以点A为切点的切线方程为,整理得：,该切线方程与函数联立可得，,所以,同理：,又因为，代入关系式可得，正确；③由②可知，以为切点，作切线与图像交于点，再以点为切点作直线与图像交于点，再以点作切点作直线与图像交于点，此时满足，,, 所以，所以③错误；④当函数为

，设正方形ABCD的对角线AC所在的直线方程为，设正方形ABCD的对角线BD所在的直线方程为，，解得：，所以，

同理：，因为

所以

，设，即，，当时，，等价于，解得，或，，所以正方形唯一确定，故正确选项为①②④.

【难点点睛】本题的难点是②和④，计算量都比较大，②的难点是过点A的切线方程与函数方程联立，得到交点C的坐标，这个求交点的过程需要计算能力比较好才可以求解出结果；④的难点是需根据正方形的几何关系，转化为代数运算，这种化归与转化会让很多同学感觉无从下手，同时运算量也比较大，稍有疏忽，就会出错，所以平时训练时，带参数的化简需所练习.