Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当n∈N^*时，有f（n）∈N^*，f[f（n）]=3n，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：结合题设条件，利用列举法一一验证，能够求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，从而求得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值．

解答： 解：若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与条件f（f（n））=3n矛盾，故不成立．
若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，进而f（f（3））=f（3）=9，与前式矛盾，故不成立．
若f（1）=n（n＞3），则f（f（1））=f（n）=3，与f（x）单调递增矛盾．
所以只剩f（1）=2．验证之：f（f（1））=f（2）=3，
进而f（f（2））=f（3）=6，
进而f（f（3））=f（6）=9，
由函数的单调性，f（4）=7，f（5）=8，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+3+6+7=18，
故答案为：18．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用，属于基础题．