Question

下列四个命题：
①若0＞a＞b，则

1

a

＜

1

b

；
②x＞0，x+

1

x-1

的最小值为3；
③椭圆

x2

4

+

y2

3

=1比椭圆

x2

3

+

y2

2

=1更接近于圆；
④设A，B为平面内两个定点，若有|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹是椭圆；
其中真命题的序号为

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：常规题型,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①利用不等式的性质可得，若0＞a＞b，则

1

a

＜

1

b

；
②注意基本不等式成立的条件，举反例x=

1

2

时；
③求两个椭圆的离心率，由离心率越小越接近于圆可知，椭圆

x2

4

+

y2

3

=1比椭圆

x2

3

+

y2

2

=1更接近于圆；
④由椭圆的定义可知，若|AB|=2，则动点P的轨迹是线段AB；

解答： 解：①∵0＞a＞b，
∴

1

ab

＞0，
不等式两边同乘

1

ab

可得，
∴

1

a

＜

1

b

；
②若x=

1

2

，则x+

1

x-1

=-

3

2

，故错误；
③∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的离心率e=

1

2

，椭圆

x2

3

+

y2

2

=1的离心率e=

3

3

，
又∵

3

3

＞

1

2

，
∴椭圆

x2

4

+

y2

3

=1比椭圆

x2

3

+

y2

2

=1更接近于圆；
④若|AB|=2，则动点P的轨迹是线段AB；
故答案为：①③．

点评：本题考查了不等式的性质与基本不等式的应用，同时考查了椭圆的性质与定义及命题的真假性的判断，属于中档题．