Question

如图 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、F分别是BC、BB₁中点．求证：
（1）平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）若BB₁=BC，求证：平面FAC⊥平面ADC₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC₁B₁即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明FC⊥平面ADC₁即可；

解答： 证明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁，
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）由（1）中AD⊥平面BCC₁B₁，FC?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥FC，
又∵BB₁=BC，D、F分别是BC、BB₁中点．
易得△FBC≌DCC₁，
∴∠BFC=∠CDC₁，
∴∠BCF+∠CDC₁=90°
即FC⊥DC₁，
又∵DC₁，AD?平面ADC₁，DC₁∩AD=D，
∴FC⊥平面ADC₁，
又∵FC?平面FAC，
∴平面FAC⊥平面ADC₁．

点评：本题以正三棱柱为载体，考查了面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理，熟练掌握空间线线垂直，线面垂直及面面垂直的转化方法是解答的关键．