Question

3．已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁，l₂都过点A（a，0），
（1）当a=2时，若圆心为M（1，m）（m＞0）的圆和圆C外切且与直线l₁，l₂都相切，求圆M的方程；
（2）当a=-1时，记l₁，l₂被圆C所截得的弦长分别为d₁，d₂，求：
①d₁²+d₂²的值；
②d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出所求的圆的半径r，利用和已知圆外切及圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为$\sqrt{2}$r，求出半径r
和m的值，写出所求圆的标准方程．
（2）设弦长分别为d₁，d₂，因为四边形AECF是矩形，应用勾股定理和基本不等式求①d₁²+d₂²的值；②d₁+d₂的最大值．

解答 解：（1）设圆M的半径为r，$由题意有：\left\{\begin{array}{l}\sqrt{9+{m^2}}=2+r\\{（2-1）^2}+{m^2}=2{r^2}\end{array}\right.$，…（3分）
$解得m=\sqrt{7}，r=2$…（5分）∴$圆M的方程为{（x-1）^2}+{（y-\sqrt{7}）^2}=4$．…（6分）
（2）①当a=-1时，设l₁，l₂被圆C所截得的弦的中点分别为E，F．
∵四边形AECF为矩形．∴|CE|²+|CF|²=|AC|²=1，…（8分）$即[{4-{{（{\frac{d_1}{2}}）}^2}}]+[{4-{{（{\frac{d_2}{2}}）}^2}}]=1，化简得{d_1}^2+{d_2}^2=28$．…（10分）
②$由\frac{{{d_1}^2+{d_2}^2}}{2}≥{（{\frac{{{d_1}+{d_2}}}{2}}）^2}及$①得${d_1}+{d_2}≤2\sqrt{14}$
即d₁+d₂的最大值为$2\sqrt{14}$．…（12分）

点评 本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．