Question

13．函数f（x）=|x+1|-|2-x|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若m，n∈R⁺，$\frac{4}{n+1}+\frac{1}{2m+1}=1$，求证：n+2m-f（x）＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．
（2）根据基本不等式的性质，利用1的代换，先求出n+2m的最小值，利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最大值，进行比较即可．

解答 解：（1）由f（x）＜0得f（x）=|x+1|-|2-x|＜0，即|x+1|＜|x-2|，
平方得x²+2x+1＜x²-4x+4，即6x＜3，
得x＜$\frac{1}{2}$，即不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{2}$）．
（2）∵n+2m+2=n+1+2m+1=（n+1+2m+1）（$\frac{4}{n+1}$+$\frac{1}{2m+1}$）=4+1+$\frac{4（2m+1）}{n+1}$+$\frac{n+1}{2m+1}$≥5+2$\sqrt{\frac{4（2m+1）}{n+1}•\frac{n+1}{2m+1}}$=5+4=9，
∴n+2m≥9-2=7，当且仅当+$\frac{4（2m+1）}{n+1}$=$\frac{n+1}{2m+1}$，即n+1=2（2m+1）时取等号，
∴n+2m的最小值为7，
∵f（x）=|x+1|-|2-x|≤|x+1+2-x|=3，
∴f（x）的最大值为3，
则n+2m＞f（x）恒成立，即n+2m-f（x）＞0恒成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用基本不等式以及绝对值不等式的性质求出相应的最值是解决本题的关键．