Question

18．已知数列{a_n}满足条件：对任意的n∈N^*，点（1，n²）在函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*）的图象上，g（x）=$\frac{2x}{x+1}$，数列{b_n}满足b₁=$\frac{2}{3}$，b_n+1=g（b_n），n∈N^*，
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）试比较f（$\frac{1}{2}$）与b_n的大小（其中n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）将点（1，n²）代入函数解析式，求得S_n=n²，n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，即可求得a_n=2n-1，验证当n=1成立，由题意可知b_n+1=$\frac{2{b}_{n}}{{b}_{n}+1}$，构造等比数列，根据等比数列通项公式即可求得{b_n}的通项公式；
（2）将x=$\frac{1}{2}$代入f（x）的解析式，利用“错位相减法”求得f（$\frac{1}{2}$）的解析式，与（1）所求的b_n的通项公式，当n=1时，比较大小，当n≥2，分别求得f（$\frac{1}{2}$）与b_n的极限值，即可比较大小．

解答 解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
则S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=f（1）=n²，
当n=1时，a₁=S₁=1，…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²2n-1，
∵n≥2时，a_n=2n-1对于n=1也同样适用，
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
b_n+1=g（b_n）=$\frac{2{b}_{n}}{{b}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{b}_{n}}$-1），$\frac{1}{{b}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$-1}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
$\frac{1}{{b}_{n}}$-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$，
数列{a_n}通项公式为a_n=2n-1，{b_n}的通项公式b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$；
（2）f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{4}$+5×$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两边都乘以$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+5（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减，得 $\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$）²+2（$\frac{1}{2}$）³+…+2（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{3}{2}$-（2n+3）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
则f（$\frac{1}{2}$）=3-（2n+3）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*
b_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$＜1，n∈N^*，
当n=1时，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{2}{3}$，
f（$\frac{1}{2}$）＜b_n，
当n≥2，随着n的增加f（$\frac{1}{2}$）逐渐趋于3，即$\underset{lim}{n→∞}$f（$\frac{1}{2}$）=3，b_n趋近于1，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=1，
f（$\frac{1}{2}$）≥b_n，
综上可知：当n=1时，f（$\frac{1}{2}$）＜b_n，
当n≥2时，f（$\frac{1}{2}$）≥b_n．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查利用“错位相减法“求数列的前n项和，数列的极限运算，考查计算能力，属于难题．