Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）=f（2-x），当x∈[-1，0]时，f（x）=1-(

1

2

)x，则f（2014）+f（2015）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）=f（2-x），可得f（x+4）=f（x）．即函数f（x）是周期T=4的函数．再利用函数的奇偶性及其已知条件即可得出．

解答： 解：∵当x∈[-1，0]时，f（x）=1-(

1

2

)x，
∴f（0）=0，f（-1）=1-2=-1．
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）=f（2-x），
∴f（x+2）=f（2-x-2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴函数f（x）是周期T=4的函数．
∴f（2014）+f（2015）
=f（2）+f（3）
=f（0）+f（-1）
=0+（-1）
=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．