Question

14．若M（x，y）满足$2\sqrt{5}\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y-1）}^2}}=|{2x+y-4}|$，则M的轨迹（　　）

• A． 双曲线
• B． 直线
• C． 椭圆
• D． 圆

Answer 1

分析 由题意，$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}}{\frac{|2x+y-4|}{\sqrt{5}}}$=$\frac{1}{2}$，可得（x，y）到（2，1）的距离与到直线2x+y-4=0的距离的比为$\frac{1}{2}$，即可得出结论．

解答 解：$2\sqrt{5}\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y-1）}^2}}=|{2x+y-4}|$，可化为$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}}{\frac{|2x+y-4|}{\sqrt{5}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴（x，y）到（2，1）的距离与到直线2x+y-4=0的距离的比为$\frac{1}{2}$，
利用椭圆的定义，可得轨迹是椭圆．
故选：C．

点评 本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，正确变形是关键．