Question

19．已知在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₅=3a₂-1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3${\;}^{{a}_{2n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），利用$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+3d）及a₅=3a₂-1计算可知首项和公差，进而计算可得结论；
（2）通过a_n=n可知b_n=9ⁿ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+3d），
解得：d=a₁，
又∵a₅=3a₂-1，
∴5d=6d-1，即d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）∵a_n=n，
∴b_n=3${\;}^{{a}_{2n}}$=9ⁿ，
∴S_n=$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$=$\frac{{9}^{n+1}-9}{8}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．