Question

4．已知函数$f（x）={log_a}（ax）•{log_a}（{a^2}x）$在x∈[2，8]时取得最大值2，最小值$-\frac{1}{4}$，求a．

Answer 1

分析 利用换元思想，将问题转化为二次函数在指定区间上的最值问题，结合配方法求出结果，注意分类讨论．

解答 解：由题意知，函数$f（x）={log_a}（ax）•{log_a}（{a^2}x）$
=（log_ax+1）（log_ax+2）
=log_a²x+3log_ax+2=（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
令t=log_ax，则y=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
当f（x）取最小值-$\frac{1}{4}$时，t=log_ax=-$\frac{3}{2}$．
又∵x∈[2，8]，∴a∈（0，1）．
∵f（x）是关于t的二次函数，
∴函数f（x）的最大值必在x=2或x=8时取得．
若（log_a2+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$=2，则a=${2}^{-\frac{1}{3}}$，
此时f（x）取得最小值时，x=$（{2}^{-\frac{1}{3}}）^{-\frac{3}{2}}$=$\sqrt{2}$∉[2，8]，舍去．
若（log_a8+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$=2，则a=$\frac{1}{2}$，
此时f（x）取得最小值时，x=$（\frac{1}{2}）^{-\frac{3}{2}}$=2$\sqrt{2}$∈[2，8]，
符合题意，
∴a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查对数函数与二次函数复合构成的函数的最值的求法，对数函数为内层时，一般采用换元法转化为二次函数来求解，注意中间量的取值范围．