Question

2．已知z是复数，$z（1+2i）\;、\;\;\frac{z+i}{2-i}$均为实数，
（1）求复数z
（2）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设z=x+yi（x，y∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出；
（2）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），
则z（1+2i）=（x+yi）（1+2i）=x-2y+（2x+y）i∈R，则2x+y=0，①$\frac{z+i}{2-i}=\frac{[x+（y+1）i]（2+i）}{5}=\frac{2x-y-1+（x+2y+2）i}{5}∈R$，
则x+2y+2=0，②
由①②解得：$x=\frac{2}{3}，y=-\frac{4}{3}$，
∴$z=\frac{2}{3}-\frac{4}{3}i$．
（2）${（\;z+a\;i\;）^2}={[\frac{2}{3}+（a-\frac{4}{3}）i]^2}=-{a^2}+\frac{8}{3}a-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}（a-\frac{4}{3}）i$，
在复平面上对应的点在第一象限，当且仅当：$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+\frac{8}{3}a-\frac{4}{3}＞0\\ a-\frac{4}{3}＞0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{4}{3}＜a＜2$．
∴实数a的取值范围是$（\frac{4}{3}，2）$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了计算能力，属于中档题．