Question

13．已知实数a＞0，函数f（x）=ax³-4ax²+4ax（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有极大值16，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再令导数等于0，解得x的值，再根据导数判断函数的单调性，继而得到函数的单调区间；
（Ⅱ），根据（Ⅰ）的结论，由（Ⅰ）知f（x）在x=$\frac{2}{3}$时，取得极大值，代入计算即可．

解答 （Ⅰ）∵f（x）=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a，
令f′（x）=0得，3ax²-8ax+4a=0，
∵a＞0，
∴3x²-8x+4=0，
解得x=$\frac{2}{3}$或x=2
∴当x∈（-∞，$\frac{2}{3}$）或x∈（2，+∞），f′（x）＞0，
当x∈（$\frac{2}{3}$，2），f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，$\frac{2}{3}$）和（2，+∞），调递减区间为（$\frac{2}{3}$，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在x=$\frac{2}{3}$时，取得极大值．   
即f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{27}$a-$\frac{16}{9}$a+$\frac{8}{3}$a=16  解得a=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，属于中档题．