Question

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都等于2．D是BB₁的中点．

①求证A₁C₁∥平面ADC；

②求点C₁到平面ABC的距离．

 

Answer 1

答案：
解析：

①由正三棱柱的性质得A1C1∥AC，且AC平面ADC， ∴ A1C1∥平面ADC． ②设E、F分别是A1C1，AC的中点， 连BF，B1E，EF，DF． 由AC⊥EF及AC⊥BF，得AC⊥平面BB1EF． ∴ 平面BB1EF⊥平面ADC． 又DF为平面BB1EF与平面ADC的交线， 作EO⊥DF于O，则EO⊥平面ADC． ∵ A1C1∥平面ADC， ∴ EO为C1到平面ADC的距离． ，， ∵ ∠DBF=∠EOF=∠BFE=90°， ∴ ∠OEF=∠BFD． ∴ OE=FEcos∠OEF=2cos∠BFD=， 即点C1到平面ADC的距离是．