题目内容
（2012•马鞍山二模）如图，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延长线上一点，过A、B、P三点的平面交FD于M，交EF于N．（I）求证：MN∥平面CDE：
（II）当平面PAB⊥平面CDE时，求三梭台MNF-ABC的体积．
分析：（Ⅰ）根据正三棱柱的性质，平面与平面平行的性质定理，可得AB∥MN，结合DE∥AB得到DE∥MN，最后用线面平行的判定定理，可证出MN∥平面CDE．
（II）取AB中点G、DE中点H，连接PG、CH，利用线面平行的性质结合面面垂直的性质，可得PG⊥CH，再由平面几何知识得Rt△PCG∽Rt△HGC，算出PF=2，进而得到FM=
且△PMN是等边三角形，最后利用两个三棱锥体积相减即可得到三梭台MNF-ABC的体积．
（II）取AB中点G、DE中点H，连接PG、CH，利用线面平行的性质结合面面垂直的性质，可得PG⊥CH，再由平面几何知识得Rt△PCG∽Rt△HGC，算出PF=2，进而得到FM=
| 4 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱ABC一DEF中，平面ABC∥平面DEF，平面PAB∩平面DEF=MN，平面PAB∩平面ABC=AB，
所以AB∥MN；…（2分）
又∵平行四边形ABED中，DE∥AB，∴DE∥MN，
； …（4分）
∵MN?平面CDE，DE⊆平面CDE，
∴MN∥平面CDE…（6分）
（Ⅱ）取AB中点G、DE中点H，连接PG、CH，则
由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA=PB知PG⊥AB，
类似于（Ⅰ）的证明方法可得AB平行于平面PAB与平面CDE的交线，
因此PG也垂直于该交线，
由此可得，若平面PAB⊥平面CDE，则PG⊥平面CDE，可得PG⊥CH
根据平面几何知识，得Rt△PCG∽Rt△HGC，所以
=
…（8分）
设PF=t，则
=
，可得t=2…（10分）
从而
=
，得到MF=
∴VNMF-ABC=VP-ABC-VP-MNF=
×
[22×3-（
）2×2]=
…（13分）
所以AB∥MN；…（2分）
又∵平行四边形ABED中，DE∥AB，∴DE∥MN，
； …（4分）∵MN?平面CDE，DE⊆平面CDE，
∴MN∥平面CDE…（6分）
（Ⅱ）取AB中点G、DE中点H，连接PG、CH，则
由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA=PB知PG⊥AB，
类似于（Ⅰ）的证明方法可得AB平行于平面PAB与平面CDE的交线，
因此PG也垂直于该交线，
由此可得，若平面PAB⊥平面CDE，则PG⊥平面CDE，可得PG⊥CH
根据平面几何知识，得Rt△PCG∽Rt△HGC，所以
| PC |
| CG |
| PC |
| GH |
设PF=t，则
| 1+t | ||
|
| ||
| 1 |
从而
| MF |
| AC |
| PF |
| PC |
| 4 |
| 3 |
∴VNMF-ABC=VP-ABC-VP-MNF=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 4 |
| 3 |
19
| ||
| 27 |
点评：本题在一个正三棱柱中探索面面垂直问题，并求截出三棱台的体积，着重考查了线面位置关系、台体体积求法等有关知识，考查学生空间想象能力，属于中等题．
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