Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，AN=

1

4

．
（Ⅰ）求BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C₁-BM-C的正切值；
（Ⅲ）证明MN⊥BC₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证出∠BC₁M为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角，再求它的正弦值，利用反三角函数表示；
（Ⅱ）由二面角的定义证明∠C₁MC为二面角C₁-BM-C的平面角，在直角三角形中求解；
（Ⅲ）由勾股定理证出MN⊥C₁M，再证MN⊥平面BC₁M，由线面垂直的定义证出．

解答：解：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC
∴CC₁⊥BM
又M是正△ABC的AC边的中点，
∴BM⊥AC∵CC₁∩AC=C
∴BM⊥平面ACC₁A₁（3分）
∴∠BC₁M为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角
又BM=

3

，BC1=2

5

∴sin∠BC₁M=

15

10

（5分）
所以BC₁与侧面ACC₁A₁所成角为arcsin

15

10

．
（Ⅱ）由已知得CC₁⊥底面ABC，又CM⊥BM，
∴C₁M⊥BM
∴∠C₁MC为二面角C₁-BM-C的平面角，
∴tan∠C₁MC=4（9分）
（Ⅲ）证明：依题意得MN=

17

4

，C1M=

17

，C1N=

17

4

∵MN²+C₁M²=C₁N²
∴MN⊥C₁M（11分）
又由（Ⅰ）中BM⊥平面ACC₁A₁知BM⊥MN，且C₁M∩BM=M，
∴MN⊥平面BC₁M∴MN⊥BC₁（14分）

点评：本题考查了线面角和二面角的求法，作-证-求三个步骤，缺一不可；另外由勾股定理证线线垂直，这也是常用的方法，考查了逻辑推理能力和计算求解能力．