Question

（本小题满分13分）设函数，对于任意给定的位自然数（其中是个位数字，是十位数字，），定义变换：. 并规定．记，，， ，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）当时，证明：对于任意的位自然数均有；

（Ⅲ）如果，写出的所有可能取值.（只需写出结论）

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于，，，，，，即可求出．

（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数，知.（当或5时，取到最大值），因为 ， 所以 ． 令 ，则．当时，，根据的单调递增，即可求证结果；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）即可得到结果.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
，，，，，，

所以 ． 3分

（Ⅱ）证明：因为函数，

所以对于非负整数，知.（当或5时，取到最大值） 4分

因为，

所以． 6分

令 ，则．

当时，，

所以 ，函数，（，且）单调递增．

故 ，即．

所以当时，对于任意的位自然数均有. 9分

（Ⅲ）答：的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38． 14分.

考点：1.归纳推理；2.单调性在不等式证明中的应用.