Question

已知函数f（x）=cos²x+sinx，那么下列命题中假命题是

1. A.
   f（x）既不是奇函数也不是偶函数
2. B.
   f（x）在上是增函数
3. C.
   f（x）是周期函数
4. D.
   f（x）在[-π，0]上恰有一个零点

Answer 1

D
分析：先利用特殊值法判断 A为真命题；再利用导数证明函数f′（x）在上恒正，从而B为真命题；利用函数周期性定义和诱导公式可证明C为真命题；故选D
解答：f（0）=1，故此函数不是奇函数，f（）=1，f（-）=-1，故函数不是偶函数，故 A为真命题；
∵f′（x）=-2cosxsinx+cosx=cosx（1-2sinx），当x∈时，sinx∈（，1），1-2sinx＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在上是增函数，B为真命题；
∵f（x+2π）=cos²（x+2π）+sin（x+2π）=cos²x+sinx=f（x），∴f（x）是周期函数，故C为真命题；
令cos²x+sinx=0，即-sin²x+sinx+1=0，sinx=（舍去）或sinx=，在[-π，0]上有两个零点，故D为假命题；
故选D
点评：本题主要考查了函数的奇偶性及其判断方法，三角函数的单调性及其判断方法，函数周期定义即三角方程的解法，属基础题