Question

设函数f（x）=|x+1|+|x+2|-a（a∈R）
（1）当a=5时，求函数g（x）=lnf（x）的定义域；
（2）若函数h（x）=

f(x)

的定义域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由于对数的真数必须大于0，则有|x+1|+|x+2|-5＞0，讨论当x≤-2时，当x≥-1时，当-2＜x＜-1时，去掉绝对值，解出不等式，最后求并集即可；
（2）函数h（x）=

f(x)

的定义域为R，则f（x）≥0恒成立，即有|x+1|+|x+2|≥a恒成立，只需a≤（|x+1|+|x+2|）_min，运用绝对值不等式的性质，即可得到最小值，进而得到a的范围．

解答： 解：（1）当a=5时，f（x）=|x+1|+|x+2|-5，
g（x）=lnf（x）=ln（|x+1|+|x+2|-5），
即有|x+1|+|x+2|-5＞0，
当x≤-2时，-x-1-x-2-5＞0，即x＜-4，则有x＜-4；
当x≥-1时，x+1+x+2-5＞0，即x＞1，则有x＞1；
当-2＜x＜-1时，-x-1+x+2-5＞0，即-4＞0，则x无解．
故x＞1或x＜-4．
故函数g（x）的定义域为（-∞，-4）∪（1，+∞）；
（2）由于函数h（x）=

f(x)

的定义域为R，
则f（x）≥0恒成立，
即有|x+1|+|x+2|≥a恒成立，
只需a≤（|x+1|+|x+2|）_min，
由于|x+1|+|x+2|≥|（x+1）-（x+2）|=1，
则有a≤1．
故a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，偶次根式被开方式非负，同时考查绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．