Question

设a≥0，则

2 a+2 a2+1

2a+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,基本不等式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由于a≥0，可令a=tanθ，θ∈[0，

π

2

)．通过化简利用正弦函数的有界性即可得出．

解答： 解：∵a≥0，∴可令a=tanθ，θ∈[0，

π

2

)．
则y=

2 a+2 a2+1

2a+1

=

2 tanθ+2 1 cosθ

2tanθ+1

=

2 sinθ+2

2sinθ+cosθ

＞0，
化为(2y-

2

)sinθ+ycosθ=2，
∴

(2y- 2 )2+y2

≥2，
化为(5y+

2

)(y-

2

)≥0，
∴y≥

2

．当θ=

π

4

时，即a=1时取等号．
因此

2 a+2 a2+1

2a+1

的最小值是

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了三角函数代换、正弦函数的有界性、三角函数的恒等变形等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．