Question

四棱锥P-ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体,棱锥的结构特征,球的体积和表面积

专题：球

分析：设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．

解答： 解：四棱锥P-ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：

3

．
由题意设内切球的半径为r，
四棱锥的高为：h，∴h=

3

2

×tan60°=

3

2

，斜高为：

3

棱锥的体积为：V=

1

3

S_底•h=

1

3

×

2 3

4

×22×

3

2

=

3

．
连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，
∴S_全=4×

1

2

×2×

3

+2×2sin60°=6

3

．
∴

1

3

×6

3

r=

3

，
r=

1

2

．
球的体积为：

4π

3

r3=

4π

3

(

1

2

)3=

π

6

．
故答案为：

π

6

点评：本题考查几何体的内切球的体积的求法，等体积法求法球的半径是解题的关键考查空间想象能力以及计算能力．