Question

16．已知a=$\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$，则${[{（a+2-\frac{π}{2}）x-\frac{1}{x}}]^6}$展开式中的常数项为-160．

Answer 1

分析 根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．

解答 解：a=$\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=$\frac{1}{2}$arcsinx${|}_{-1}^{1}$=$\frac{π}{2}$，
∴[（a+2-$\frac{π}{2}$）x-$\frac{1}{x}$]⁶=${（2x-\frac{1}{x}）}^{6}$，
其展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（2x）^6-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•2^6-r•${C}_{6}^{r}$•x^6-2r；
令6-2r=0，解得r=3；
∴展开式中常数项为（-1）³•2³•${C}_{6}^{3}$=-160．
故答案为：-160．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．