Question

【题目】如图，在三棱柱中， 为的中点， ， .

（1）求证： 平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的有关知识与数量积公式分析求解：

（1）证明：

连结与相交于点，连结.

∵为中点，∴，

又∵平面平面，

∴平面.

（2）∵，

∴，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

∴平面平面.

如图，过在平面内作，垂足为．

∵平面平面，平面平面，

∴平面．

以点为原点， 的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：

．

设平面的一个法向量，则

，∴，解之得．

∴．

又∵．∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为．