Question

已知函数（其中，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明．

Answer 1

（Ⅰ）在区间上是单调递减函数；（Ⅱ）k的取值范围是；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）将代入求导，根据其符号即可得其单调性；（Ⅱ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征，结合图象便可知取何值时，方程有两个根.

（Ⅲ）结合图象可知，函数的两个极值点，满足.
，这里面有两个变量，那么能否换掉一个呢？
由，得，利用这个关系式便可将换掉而只留：
，这样根据的范围，便可得，从而使问题得证.
试题解析：（Ⅰ）若，，则，
当时，，
故函数在区间上是单调递减函数． 4分
（Ⅱ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，
即方程有两个根，设，则，
当时，，函数单调递增且；
当时，，函数单调递增且；
当时，，函数单调递减且．
要使有两个根，只需，
故实数k的取值范围是． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数的两个极值点，满足， 10分
由，得，
所以，
由于，故，
所以． 14分