Question

【题目】已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；内切圆面积的最大值为，直线的方程为

【解析】

（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得，由，可得，又，由此可求椭圆方程；

（2）设，，，，不妨，，设△的内切圆的径，则△的周长，，因此最大，就最大．设直线的方程为，与椭圆方程联立，从而可表示△的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．

解：（1）设椭圆方程为，由焦点坐标可得.

由，可得.又，得，.

故椭圆方程为.

（2）设，，不妨令，，

设的内切圆的半径为，则的周长为，

，

因此要使内切圆的面积最大，则最大，此时也最大.

，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

得，，

则，令，则，

则

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

有，，

当，时，，又，∴

这时所求内切圆面积的最大值为，此时直线的方程为